Il teorema di Nash

Cooperazione ed equilibrio

John Forbes Nash Jr. è stato uno dei più grandi matematici del XX secolo; a lui si deve la formulazione di un teorema, che porta il suo nome e che trova applicazione in un ambito matematico, detto teoria delle decisioni e, più specificatamente, nell’ambito della teoria dei giochi non cooperativi. Secondo questo teorema, nell’ipotesi d’informazione incompleta, le strategie, attuate unilateralmente, per migliorare la propria condizione su uno spazio S, che definisce le configurazioni assunte da un certo numero di giocatori tramite il loro pay off  (vincita), in assenza di cooperazione, conducono sempre a una configurazione di equilibrio, detto equilibrio di Nash, in cui nessuno dei partecipanti al gioco è più in grado di migliorare la propria condizione. Il teorema, sostanzialmente, individua un punto fisso nella classe delle trasformazioni topologiche che rappresentano le strategie volte a conseguire il miglioramento del pay off, definite sullo spazio delle configurazioni assunte dai giocatori.

Si tratta, quindi, di una generalizzazione della teoria delle trasformazioni geometriche e di un’applicazione di detta generalizzazione al caso di un particolare tipo di trasformazioni topologiche: le strategie unilaterali condotte in condizione di informazione incompleta.

John Forbes Nash, Jr.

Il teorema in questione, sebbene sembri nascere in un ambito molto astratto e specialistico, ha una portata formidabile, essenzialmente per due motivi: le ipotesi del teorema sono di una generalità disarmante; le sue applicazioni sono estendibili senza alcuna difficoltà a tutte le situazioni reali in cui è presente informazione incompleta e mancanza di cooperazione.

Un altro aspetto notevole del teorema è che l’equilibrio di Nash, raggiunto nelle ipotesi di informazione incompleta e mancanza di cooperazione, non è, in generale, un ottimo paretiano, cioè non è la configurazione migliore raggiungibile da parte di tutti i giocatori. Pertanto, una conseguenza importantissima del teorema è che, per effetto dell’informazione incompleta, ogni gioco non cooperativo conduce, sempre, i partecipanti al gioco a raggiungere una configurazione che non è la migliore per tutti i partecipanti al gioco. La configurazione migliore per tutti i partecipanti al gioco si ottiene soltanto se i giocatori stabiliscono regole comuni e si accordano.

Questo teorema, quindi, è la spina nel fianco della concezione economica liberista che si basa proprio sui cosiddetti teoremi dell’economia del benessere, nell’ambito dei quali troviamo il criterio, attribuibile all’italiano Vilfredo Pareto, che definisce il concetto di ottimo paretiano, secondo cui, una configurazione del sistema economico è Pareto - ottimale se non è possibile migliorare la situazione di qualcuno senza peggiorare quella di qualcun altro.

I teoremi dell’economia del benessere, in estrema sintesi teorizzano l’esistenza di una configurazione Pareto – ottimale nell’ipotesi di concorrenzialità perfetta degli agenti economici e, quindi, nell’ipotesi di competitività tra essi che sottende l’assenza di ogni forma di cooperazione. Questi teoremi, come tutti i teoremi matematici, sono affermazioni sempre vere – dette anche tautologie – a condizione che siano rispettate tutte le ipotesi.

Ed è qui la nota dolens dell’intera faccenda. I teoremi dell’economia del benessere, tra le ipotesi di base, suppongono l’informazione completa e alla portata di tutti. Il teorema di Nash, tra le ipotesi, suppone, invece, l’informazione incompleta.

Il modello di economia dinamica mostra l’esistenza della grandezza entropia economica che rappresenta proprio la quantità d’informazione richiesta dagli operatori. Così, ogni variazione di entropia si traduce sempre in informazione mancante o non utilizzabile. Ne consegue che il modello di economia dinamica conduce direttamente all’ipotesi di base del teorema di Nash: l’informazione è incompleta.

Nel post precedente abbiamo visto cosa accade a due sistemi economici che operano in modo non cooperativo. Le strategie da essi messe in atto sono dettate dall’esigenza di contrastare l’informazione mancante, per il sistema in surplus, e l’informazione non utilizzabile, per il sistema in deficit. Sono, quindi, strategie conseguenti alla presenza d’informazione incompleta. Inoltre, i due sistemi interagiscono in assenza di cooperazione. Pertanto, la configurazione finale descritta nel post, che, poi, è quel che stiamo vivendo ai nostri giorni e sulla nostra pelle, è il materializzarsi dell’equilibrio di Nash.

Tal equilibrio è molto diverso dall’equilibrio macroeconomico generale predetto dalla teoria economica oggi dominante, e lo è, ancor di più, rispetto all’equilibrio che definisce la configurazione Pareto – ottimale dei teoremi dell’economia del benessere.

Nessuno dei due sistemi, sia quello in surplus, sia quello in deficit, si trova nella migliore condizione possibile. Esiste un solo modo affinché i due sistemi possano migliorare, entrambi, la propria condizione: essi devono uscire dall’equilibrio di Nash, accordandosi.

Quale può essere mai un accordo di tal fatta? Poiché lo squilibrio è, innanzitutto, uno squilibrio di natura monetaria, l’accordo non può che essere una riforma del sistema monetario internazionale; qualcosa che dovrebbe chiamarsi Bretton Woods III. Il perché è chiaro a chi ha dimestichezza con la storia della macroeconomia. Ne torneremo a parlare …