Distribuzione del reddito e funzione di partizione

Reddito, livello dei prezzi, ricchezza e grandezze di scambio

Come si è visto nel post precedente, la distribuzione di probabilità del reddito può ottenersi massimizzando l’entropia e tenendo conto del quanto di scambio – preferenza per la liquidità – che caratterizza ogni sottosistema di un sistema economico aggregato eterogeneo. La massimizzazione dell’entropia condotta per via matematica, nelle ipotesi poste, porta a individuare una grandezza, detta funzione di partizione “Z” che trova, in ambito scientifico, largo impiego in meccanica statistica. La struttura della funzione di partizione racchiude in sé tutte le informazioni sul sistema economico esaminato e dipende, oltre che dall’attività economica “v”, anche da un parametro lagrangiano, impiegato in fase di ricerca del massimo, la cui esatta individuazione è di grande importanza. Funzione di partizione e lagrangiano sono, perciò, i parametri che permettono la massimizzazione dell’entropia condizionata ai vincoli di bilancio e di aggregazione del sistema.

Giova dire che la modellazione cui ci si riconduce ricalca, in buona parte, quella di Maxwell – Boltzmann per un sistema termodinamico, in cui, anche qui, può definirsi una funzione di partizione. Per chi ha dimestichezza con la termodinamica e la meccanica statistica non è difficile riconoscere, nelle variabili della funzione di partizione del reddito, delle analogie con le grandezze presenti nella funzione di partizione termodinamica. In particolare non è difficile identificare l’attività economica con il volume di controllo di un sistema termodinamico. Può dirsi, infatti, che l’attività economica, essendo associata al numero di stati cui un sistema può accedere, è analoga al volume di controllo impiegato in termodinamica; ne è un esempio il volume occupato da un gas, quando si pensi che tanto più grande è tale volume, tanto maggiore è il numero di stati cui la particelle del gas possono accedere.

Mentre in termodinamica, il parametro lagrangiano è associato al reciproco della temperatura termodinamica assoluta, nel caso della funzione di partizione del reddito, il lagrangiano è il reciproco di una grandezza intensiva di natura economica: l’emissione monetaria unitaria; questa è definita come la quantità di moneta emessa, per mezzo dei possibili canali monetari, e che è trasferita in ogni scambio, da ciascuna unità del sistema e in ciascuno dei passaggi che, nel tempo considerato, rappresentano la velocità degli scambi all’interno del sistema considerato.

In pratica, può dirsi che, in economia, la moneta svolge un ruolo del tutto analogo a quello svolto dalla temperatura in termodinamica, mentre l’attività economica è analoga al volume.

La funzione di partizione del reddito dipende, quindi, dall’attività economica e dall’emissione monetaria, rapportata al numero di unità che compongono il sistema e alla velocità degli scambi.

Esattamente come accade in termodinamica, in cui, se è nota la funzione di partizione, possono desumersi da essa tutte le grandezze termodinamiche – energia interna, entropia e pressione – anche nel caso economico, dalla funzione di partizione del reddito possono ricavarsi tutte le analoghe grandezze economiche: ricchezza o moneta circolante, entropia e livello dei prezzi.

È possibile, inoltre, ottenere una funzione di partizione del reddito in forma chiusa, nel caso di un sistema economico omogeneo, cioè caratterizzato da comportamenti e parametri uniformi, e si mostra che essa assume il seguente aspetto:

Z = i_r^-N

In questa espressione, N è la velocità degli scambi e i_r è il tasso d’interesse reale, che, come si dimostra nel modello, coincide con il tasso d’interesse critico individuato da Keynes. Il tasso d’interesse reale, a sua volta dipende dall’attività economica e dall’emissione monetaria.

Si nota perciò che la conoscenza del tasso d’interesse reale e della velocità degli scambi è equivalente ad avere una conoscenza completa di un sistema economico, poiché la funzione di partizione è, da essi, completamente determinata.

Figura 1 - Logaritmo della funzione di partizione del reddito

 Come detto, le espressioni matematiche della moneta circolante, dell’entropia economica e del livello dei prezzi possono derivarsi univocamente dal logaritmo della funzione di partizione del reddito, il cui aspetto è rappresentato, in via esemplificativa, nel diagramma tridimensionale di figura 1, in cui, in rosso, è indicata la regione della deflazione da debiti. In particolare, per il livello dei prezzi, è possibile distinguere tra l’esistenza, o meno, di vantaggi comparati nel sistema economico. In assenza di vantaggio comparato, il logaritmo della funzione di partizione è una funzione omogenea di grado zero dell’attività economica e del reciproco dell’emissione monetaria unitaria. Per chi ha meno dimestichezza con i termini matematici, questo indica che l’attività economica e il reciproco dell’emissione monetaria giocano, nella formazione del reddito, un ruolo del tutto complementare e paritetico.

Questa conclusione si allontana molto dall’enfasi sulla crescita delle attività produttive invocata dalla teoria neoclassica e che, in accordo alla teoria monetarista, suppone che la moneta sia neutrale e possa essere controllata a piacimento senza che ciò comporti, alla lunga, problemi all’apparato economico.

Il modello di economia dinamica, che come si vede è una riproposizione dello studio dell’economia, con modelli affini a quelli della termodinamica, e, perciò, chiamata anche econodinamica, mostra, invece, che il ruolo della moneta e quello dell’attività economica sono inscindibili; tralasciare l’uno a favore dell’altro può portare a condizioni critiche: la contrazione della moneta emessa o un'eccessiva crescita dell'attività economica induce deflazione, la riduzione dell’attività economica o un eccesso di moneta crea inflazione.

Si è già visto, nel post precedente, che l’attività economica e il quanto di scambio – preferenza per la liquidità – sono, tra loro, inscindibilmente legate da una relazione di proporzionalità inversa e, così, si ha che nella funzione di partizione, esiste una stretta relazione, anch’essa di natura complementare, tra la preferenza per la liquidità e l’emissione monetaria. L’accrescersi dell’una è conseguenza del ridursi dell’altra. E questo legame complementare si riversa interamente, a livello aggregato, nella relazione esistente tra risparmi e investimenti.

Allo stesso modo di come, in termodinamica, esistono principi fondamentali, come il primo e secondo principio, anch’essi desumibili, a livello di meccanica statistica, dalla funzione di partizione termodinamica, anche in campo economico sono desumibili principi del tutto analoghi, partendo dalla funzione di partizione del reddito. L’analogo del secondo principio è, ovviamente, il principio di massima entropia, quello secondo cui la configurazione economica, che si realizza nella realtà, è quella avente probabilità massima. Si noti che questo principio esclude, a priori, che sia necessario l'equilibrio tra domanda e offerta, portando l’analisi dell’economia a diventare quella di un fenomeno caotico; fatto tanto più vero, quanto più grande è l’influenza del quanto di scambio: preferenza per la liquidità.

Il primo principio dell’economia dinamica si desume anch’esso dalla funzione di partizione del reddito e stabilisce che, all’interno di un sistema economico omogeneo, la moneta circolante è pari alla differenza tra la liquidità disponibile e la crescita. Liquidità e crescita sono grandezze di scambio, cioè enti che i sistemi economici omogenei scambiano tra loro. Mentre la moneta circolante dipende, come la funzione di partizione del reddito, dall’emissione monetaria che vi giunge e dalla preferenza per la liquidità – quindi, per la relazione di proporzionalità inversa, dall’attività economica – le grandezze liquidità e crescita, corrispondenti, in pratica, alla domanda e all’offerta, non producono effetti univoci sul sistema economico, perché il loro effetto dipende dall’evoluzione del sistema e dall’azione congiunta delle due grandezze di scambio. Esattamente, quel che avviene, in termodinamica, relativamente al calore e al lavoro.

Questo fatto indica che l’offerta, espressione della crescita, non può essere trattata in maniera disgiunta dalla domanda, espressione della liquidità, ma la configurazione economica che si realizza dipende da come queste due grandezze, insieme, interagiscono nel determinare il circolante presente nel sistema e la preferenza per la liquidità, ossia i risparmi. Un eccesso di crescita induce deflazione, un eccesso di liquidità induce inflazione. L'analisi economica si sposta, così, dal confronto tra la domanda e l'offerta, tra le quali può non essere possibile l'equilibrio, a causa della preferenza per la liquidità, alla valutazione congiunta degli effetti di delle due grandezze di scambio: liquidità e crescita.

Non è neanche vero, come sostengono i monetaristi, che il circolante sia determinato dalla sola emissione monetaria e dalla velocità di circolazione della moneta – equivalente alla velocità degli scambi – perché, in questo modo, si trascura l’effetto del parametro endogeno al sistema: preferenza per la liquidità.

Inoltre, ogni sistema eterogeneo aggregato è costituito da più sottosistemi, ciascuno omogeneo e che scambia con altri sistemi omogenei crescita e liquidità. I sottosistemi, cioè, tra di loro offrono e domandano beni e servizi. L’insieme complessivo di tutte queste interazioni e la fluidità, con cui moneta e attività economica sono veicolate in tutte le parti del sistema, determinano il funzionamento complessivo del sistema eterogeneo. Pertanto, squilibri tra sottosistemi possono essere causa di interruzioni in questa fluidità, allo stesso modo di come, in un organismo complesso, squilibri tra apparati diversi possono causare, su di esso, condizioni critiche, anche letali.